Metode Numerik : Deret taylor

DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT

Makalah

Diajukan untuk Memenuhi Tugas Terstruktur

Mata Kuliah : Metode Numerik

Dosen : Saluky, M.Kom

Disusun Oleh :

Anisa Rahmawati        59450977

                                                Dhiar Ramdhania        5945xxxx

Fuad Hidayat              59450985

                                                Siti Choeriyah             59450999

                                                Zara Zahra Anasha      59451005

                                               

                                                 

Tarbiyah / Matematika A / 7

INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN)

SYEKH NURJATI CIREBON

2010

KATA PENGANTAR

            Dengan memanjatkan puji dan syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa, atas rahmat dan karunia-Nya, Alhamdulillah penyusun dapat menyelesaikan makalah ini.

Dengan selesainya makalah ini, penyusun mengucapkan terima kasih kepada yang terhormat dosen Metode Numerik, Bapak Saluky, M.Kom yang telah memberikan arahan dan bimbingan sehingga penyusun dapat menyelesaikan makalah ini.

Disadari bahwa untuk membuat makalah yang berbobot dan memuaskan semua pihak, bagi penyusun bukanlah merupakan pekerjaan ringan. Untuk itu, diharapkan kritik dan saran demi perbaikan di masa datang. Demikian harapan penyusun, semoga makalah ini dapat memberikan manfaat dan kebaikan bagi pembaca.

     

Amiin.

                                  

                                                                                   Cirebon,      September 2012

                                                                                           Penyusun

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR......................................................................................................... i

DAFTAR ISI........................................................................................................................ ii

BAB I PENDAHULUAN................................................................................................... 1

A.    Latar Belakang................................................................................................... 1

B.     Rumusan Masalah.............................................................................................. 1

C.     Tujuan................................................................................................................ 1

BAB II PEMBAHASAN................................................................................................... 2

A.    Metode Numerik Secra Umum.......................................................................... 2

B.     Deret Taylor dan Analisis Galat........................................................................ 3

DAFTAR PUSTAKA......................................................................................................... 8

BAB I

PEMBAHASAN

A.    Latar Belakang

            Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan dengan mudah. Dibutuhkan metode yang  menggunakan analisis-analisis pendekatan persoalan-persoalan  non linier untuk menghasilkan nilai yang diharapkan.

            Kesulitan menggunakan metode analitik untuk mencari solusi exact dengan jumlah data yang besar, diperlukan perhitungan komputer, metode numerik menjadi penting untuk menyelesaikan permasalahan ini.

            Pemakaian  metode analitik terkadang sulit diterjemahkan kedalam algoritma yang dapat dimengerti oleh komputer. Metode numerik yang memang berangkat dari pemakaian alat bantu hitung merupakan alternatif yang baik dalam menyelesaian persoalan-persoalan perhittungan yang rumit. Salah satunya dengan Deret Taylor dan Analisis Galat.

B.       Rumusan Masalah

            Berdasarkan Latar Belakang masalah yang telah dikemukakan diatas maka dapat di rumuskan permasalahan makalah ini yaitu agar kita bisa memahami Metode Numerik dengan Deret Taylor dan Analisis Galat.

C.      Tujuan

1)      Untuk memahami metode numerik

2)      Untuk memahami Deret Taylor

3)      Untuk memahami Analisi Galat

BAB II

PEMBAHASAN

A.      Metode Numerik Secara Umum

            Metode numerik merupakan suatu metode untuk menyelesaikan masalah-masalah matematika dengan menggunakan sekumpulan aritmatik sederhana dan operasi logika pada sekumpulan bilangan atau data numerik yang diberikan. Metode komputasi yang digunakan disebut algoritma. Proses penyelesaiannya mungkin memerlukan puluhan bahkan sampai jutaan operasi, tergantung pada kompleksitas masalah yang harus diselesaikan, tingkat keakuratan yang diinginkan dan seterusnya.

            Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan analitis matematis. Sehingga dasar pemikirannya tidak keluar dari dasar pemikiran analitis, hanya saja teknik perhitungan yang mudah merupakan pertimbangan dalam pemakaian metode numerik. Mengingat bahwa algoritma yang dikembangkan dalam metode numerik adalah algoritma pendekatan maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan proses perhitungan. Dengan kata lain perhitungan dengan metode numerik adalah perhitungan yang dilakukan secara berulang-ulang untuk terus-menerus memperoleh hasil yang semakin mendekati nilai penyelesaian yang sebenarnya.

            Dengan menggunakan metode pendekatan semacam ini, tentunya setiap nilai hasil perhitungan akan mempunyai galat (error) atau nilai kesalahan. Kesalahan ini penting artinya, karena kesalahan dalam pemakaian algoritma pendekatan akan menyebabkan nilai kesalahan yang besar, tentunya ini tidak diharapkan. Sehingga pendekatan metode numerik selalu membahas tingkat kesalahan dan tingkat kecepatan proses yang akan terjadi.

            Masalah-masalah matematika yang sering kita hadapi merupakan masalah matematika yang diselesaikan dengan metode analitik atau metode sejati, yaitu suatu metode yang memberikan solusi sejati atau solusi yang sesungguhnya, karena memiliki galat (error) yang bernilai nol. Tetapi penyelesaian dengan menggunakan metode analitik hanya terbatas pada masalah tertentu saja. Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusinya masih dapat dicari yaitu dengan menggunakan metode numerik. Pada metode numerik solusinya merupakan hampiran (pendekatan) terhadap solusi sejati.

B.       Deret Taylor dan Analisis Galat.

1.    Deret Taylor

Definisi Deret Taylor

Andai f dan semua turunannya f’, f’’, f’’’, ..., di dalam selang [a,b]. Misalkan x₀  [a,b] , maka nilai x di sekitar  x₀  dan x  [a,b] , f(x) dapat diekpansi ke dalam deret Taylor :

Jika ( x - x_o ) = h,

maka :

Contoh 1

Hampiri fungsi f(x)=sin(x) ke dalam deret Taylor di sekitar x_o=1.

Penyelesaian :

f(x) = sin(x)                f^’’’(x) = - cos(x)

f^’(x) = -cos(x)             f⁽⁴⁾(x) = sin(x)

f^’’(x) = - sin(x)               dst.

maka

 

Kasus khusus adalah bila fungsi diperluas di sekitar x_o=0, maka deretnya dinamakan deret Maclaurin yang merupakan deret Taylor baku

Contoh 2

f(x)= sin(x) dimana x_o = 0

Penyelesaian:

 

Karena suku-suku deret Taylor tidak berhingga banyaknya, maka agar lebih praktis deret Taylor dipotong sampai suku orde tertentu, yang dinyatakan oleh:

 

      Dengan demikian deret Taylor yg dipotong sampai suku order ke-n dapat ditulis :

 

Dimana

Contoh 3 :

f(x)=sin(x); x_o=1; utk deret Taylor orde ke-n

Penyelesaian :

 

                                         

2. Analisi Galat

       Penyelesaian secara numeris dari suatu persamaan matematika hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai sebenarnya. Berarti dalam penyelesaian numerik terdapat galat atau kesalahan terhadap nilai sejati atau penyelesaian yang sebenarnya. Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran dengan solusi sejatinya. Semakin kecil galat, maka semakin teliti solusi numerik yang diperoleh. Misalkan â adalah nilai hampiran terhadap nilai sejati a, maka selisih ε = a – â disebut galat. Nilai galat positif ataupun negatif tidak berpengaruh, sehingga perhitungannya digunakan tanda mutlak, sehingga didefinisikan sebagai berikut:

ε = |a – â|

ukuran  galat ε kurang bermakna karena tidak menjelaskan seberapa besar galat tersebut dengan nilai sejatinya. Sebagai contoh misalkan panjang seutas tali panjangnnya 99 cm, padahal panjang sebenarnya 100 cm, sehingga galatnya 100 – 99 = 1 cm. Kemudian sebatang pensil panjangnya 9 cm padahal panjang sebenarnya 10 cm, sehingga galatnya juga 1 cm, namun galat 1 cm pada pengukuran sebatang pensil lebih berarti dari pada galat 1 cm pada pengukuran panjang tali, mengapa? Jika tidak ada keterangan panjang sesungguhnya kita menganggap kedua galat itu sama, sehingga untuk mengintepretasi kedua galat ini harus dinormalkan terhadap nilai sejatinya, sehingga melahirkan istilah galat relatif (ε_R ). Galat relatif didefinisikan sebagai berikut:                                                      untuk galat relatif hampiran

       Karena galat dinormalkan terhadap nilai sejati, maka galat relatif tersebut dinamakan juga galat relatif sejati. Sehingga pengukuran pengukuran panjang tali mempunyai galat relatif sejati = 1/100 = 0,01, sedang pengukuran panjang pensil mempunyai galat relatif sejati = 1/10 = 0,1.

3. Sumber Utama Galat

            Secara umum ada dua sumber penyebab galat dalam perhitungan numerik, yaitu

Galat Pemotongan dan galat Pembulatan.

a. Galat Pemotongan

            Pengertian galat pemotongan merujuk pada galat yang disebabkan oleh penggantian ekspresi matematika yang rumit dengan rumus yang lebih sederhana. Penghentian suatu deret yang tak berhingga menjadi suatu deret yang berhingga itulah sebenarnya yang menyebabkan galat pemotongan.

            Galat ini timbul akibat penggunaan hampiran sebagai pengganti formula eksak. Maksudnya, ekspresi matematika yangg lebih kompleks diganti dengan formula yg lebih sederhana. Tipe galat pemotongan bergantung pada metode komputasi yg digunakan untuk  penghampiran sehingga kadang-kadang disebut juga galat metode.

Contoh 5 :

Hampiran fungsi cos(x) dengan bantuan deret Taylor di sekitar x = 0 !

Penyelesaian :

            f(x) = cos(x)                f⁽⁴⁾(x) = sin(x)

            f^’(x) = - sin(x)

            f^’’(x) = - cos(x)

 

                                                                

b. Galat Pembulatan

            Pembulatan maksudnya mengurangi cacah digit pada suatu nilai hampiran dengan cara membuang beberapa digit terakhir. Cara melakukan pembulatan sudah dijelaskan di depan. Galat pembulatan terjadi disebabkan karena adanya pembulatan dalam komputasi numerik, sehingga pengulangan pembulatan tidak disarankan dalam komputasi numerik karena hanya akan memperbesar galat.

•         Perhitungan dgn metode numerik hampir selalu menggunakan bilangan riil.

•         Masalah timbul bila komputasi numerik dikerjakan dengan komputer karena semua bilangan riil tdk dapat disajikan secara tepat di dlm komputer.

•         Keterbatas an komputer dlm menyajikan bilangan riil menghasilkan galat yg disebut galat pembulatan.

Contoh 6:

1/6 = 0,16666666, kalau 6 digit komputer hanya menuliskan 0,166667.

Galat pembulatannya = 1/6 – 0,166667

                                     =  -0,00000033.

DAFTAR PUSTAKA

Purcell, Varberg dan Rigdon. Ahli Bahasa: Julian Gressando. 2003. Kalkulus Jilid 2. Jakarta: Erlangga